silabus kalkulus 2

BAB I JARAK DAN SUDUT A. JARAK Definisi: Jarak antara dua buah bangun adalah panjang ruas garis penghubung terpendek yang menghubungkan dua titik pada bangun-bangun tersebut. Jika G1 dan G2 adalah bangun-bangun geometri, maka G1 dan G2 dapat dipikirkan sebagai himpunan titik-titik, sehingga dapat dilakukan pemasangan antara titik-titik pada G1 dan G2. Jika ruas garis adalah yang terpendek antara semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis disebut jarak antara bangun G1 dan G2. Akibat dari pengertian yang demikian maka: 1. Jarak antara titik P dan Q adalah panjang ruas garis . (Gg. 2.2 (i)) 2. Jarak antara titik P dan garis g adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi P pada garis g. Pada Gb. 2.2 (ii), jarak antara titik P dan garis g = . 3. Jarak antara titik P pada bidang K adalah panjang ruas garis penghubung P dengan proyeksi titik P pada bidang K. Pada Gb. 2.2 (iii), jarak antara titik P dan bidang K = . 4. Jarak antara garis g dan bidang K yang sejajar adalah sama dengan jarak salah satu titik pada garis g terhadap bidang K. Pada Gb. 2.2 (iv), jarak antara g dan K dengan g // K adalah . 5. Jarak antara bidang K dan L yang sejajar adalah sama dengan jarak salah satu titik pada bidang K terhadap bidang L, atau sebaliknya. 6. Jarak antara garis g dan h yang bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegaklurus pada g dan h (perhatikanlah cara menggambarkannya). B. CARA MELUKIS JARAK DUA GARIS BERSILANGAN Cara I (Gambar 2.3): (1) Lukis garis b1 // b dan memotong garis a. (2) Lukis bidang H melalui a dan b1. (3) Proyeksikan garis b terhadap bidang H. Hasilnya adalah garis b2, yang memotong garis a di titik A. (4) Lukislah garis g yang melalui A  b, dan memotong garis b di B. (5) Panjang ruas garis AB merupakan jarak antara garis a dan b yang bersilangan. Cara II (Gambar 2.4): (1) Lukislah bidang H  b. Bidang H memotong garis b di P. (2) Proyeksikan garis a pada bidang H, hasilnya a1. (3) Lukislah garis melalui P  a1 dan memotong a1 di titik Q. (4) Melalui Q lukis garis k // b yang memotong garis a di titik A. (5) Melalui titik A lukis garis  // PQ dan memotong garis b di titik B. (6) Panjang ruas garis AB sama dengan panjang ruas garis PQ dan merupakan jarak antara garis a dan b yang bersilangan. Contoh 2.1 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Lukis dan hitunglah jarak antara AE dan HB. Jawab: Cara I (Gambar 2.5): (1) Akan dilukis garis sejajar AE memotong HB di B. Garis tersebut telah tersedia yaitu BF. (2) Lukis bidang melalui HB dan BF. Bidang tersebut adalah bidang BDHF (3) Proyeksikan garis AE pada bidang BDHF. Hasil proyeksinya adalah garis KL yang memotong HB di P. (4) Melalui titik P lukis garis PQ  AE. (5) Ruas garis PQ merupakan jarak antara AE dan HB. (6) Oleh karena = AK dan AK = AC, maka cm = cm. Cara II (Gambar 2.6) (1) Dilukis bidang yang tegaklurus AE: telah tersedia yaitu bidang ABCD. (2) Proyeksikan HB pada bidang ABCD, yaitu BD. (3) Lukis garis melalui A  BD, yaitu AC, memotong BD di titik K. (4) Melalui K dibuat garis sejajar AE yaitu KL yang memotong HB di P. (5) Melalui P dibuat garis tegaklurus AE yaitu PQ. (6) Ruas garis PQ merupakan jarak antara AE dan HB. Panjangnya = AK = = cm = cm. Contoh 2.2 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Lukis dan hitunglah jarak antara EG dan FC. Jawab: Digunakan Cara II (Gambar 2.7). (1) Lukis bidang yang tegaklurus EG, yaitu bidang BDHF yang memotong EG di K. (2) Proyeksikan garis FC ke bidang BDHF, yaitu FL. (3) Melalui K dibuat garis tegaklurus FL dan me-motong FL di titik M. (Dibuat KM // HB, karena HB  FL). (4) Melalui M dibuat garis sejajar EG, memotong FC di titik P. (5) Melalui P dibuat garis sejajar KM, memotong EG di Q. (6) Ruas garis PQ merupakan jarak antara EG dan FC. PQ = KM; KM = HN =  43 cm = 23 cm Jadi jarak antara garis EG dan FC adalah sepanjang ruas garis PQ = 23 cm. Catatan: Jika yang ditanyakan hanya jaraknya, maka jarak tersebut sama dengan jarak antara bidang DEG dan ACF. Karena kedua bidang tegak lurus dan membagi tiga sama diagonal HB, maka jarak kedua garis sama dengan jarak antara dua bidang sejajar tersebut =  63 cm = 23 cm C. SUDUT 1. Sudut Antara Dua Garis Sudut antara dua garis adalah sudut lancip atau siku-siku antara kedua garis tersebut. Dengan demikian maka sudut antara dua garis bersilangan adalah sudut lancip atau siku-siku yang terbentuk oleh kedua garis bersilangan (tidak sebidang) Jika a dan b dua garis bersilangan, maka besar sudut antara kedua garis sama de-ngan besar sudut antara a yang sebidang dengan b dan sejajar a, dengan b, atau sebaliknya: antara b yang sebidang dengan a dan sejajar b, dengan a. Jika sudutnya 90, dikatakan a menyilang tegak lurus b. Pada Gambar 2.8, a dan b bersilangan. Besar sudut antara a dan b = EDF =  2. Sudut Antara Garis dan Bidang Garis a dikatakan tegak lurus bidang H, jika garis a tegaklurus pada semua garis pada bidang H g  a1, g  a2, g  a3, …dengan a1, a2, a3, … pada bidang H  g  H. (Gb. 2.9) Karena dua garis berpotongan menentukan keberadaan sebuah bidang (melalui 2 garis berpotongan dapat dibuat tepat sebuah bidang), maka: jika garis g tegak lurus pada dua buah garis pada bidang H, maka garis g  H. Besar sudut antara garis a dan bidang H, dengan a tidak tegak lurus H, ditentukan oleh besar sudut antara garis a dan a yang merupakan proyeksi garis a pada bidang H. Pada Gb. 2.10 (i), A dan B pada garis a. Proyeksi A pada H adalah A, proyeksi B pada H adalah B, sehingga hasil proyeksi a pada H yaitu a adalah garis AB. Sudut antara a dan H = sudut antara a dan a yaitu . Jika pada bidang pemroyeksi dibuat garis k // a (Gb. 2.10 (ii)), maka k = a. Untuk menggambarkan besar sudut antara k dan a, dalam hal ruang gambarnya tidak memungkinkan, dapat diatasi dengan menggambar garis a//a pada bidang pe-mroyeksi sehingga besar sudut antara k dan H dapat diwakili oleh , yaitu (k, a). 3. Sudut Antara Dua Bidang (yang Berpotongan) Misalkan bidang V dan W berpotongan pada garis AB (bidang V = bidang ABCD, bidang W = bidang ABEF). Jika sebuah bidang K memotong tegaklurus garis potong antara bidang V dan W, maka bidang K dinamakan bidang tumpuan antara bidang V dan W. Karena bidang K  V dan K  W, maka bidang K  (V, W), sehingga (V, W))  (K, V) dan (V, W)  (K, W). Sudut antara garis (K, V) dan (K, W) dinamakan sudut tumpuan antara bidang V dan W. Besar sudut antara bidang V dan W ditentukan oleh be-sar sudut tumpuan antara kedua kedua bidang. Pada Gb. 2.11, sudut yang dimaksud adalah sudut Jadi untuk menentukan besar sudut antara dua bidang V dan W dapat dilakukan sebagai berikut: (1) Tentukan (V, W) (dalam Gb. 2.11: AB) (2) Pilih sembarang titik T pada (V, W) (3) Pada bidang V tarik garis TQ  (V, W) (4) Pada bidang W tarik garis TP  (V, W) maka: (V, W) =  PTQ Jika besar (V, W) = 90o, dikatakan V  W Contoh 2.3 1) Pada kubus ABCD.EFGH (Gb. 2.12): a. Sudut antara AH dan BF = = sudut antara AH dan DH (karena DH // BF) = 45o (karena SDH siku-siku sama kaki), b. Jika sudut antara bidang AFH dan CFH = , berapakah cos ? Jawab: (AFH, CFH) = FH. AFH sama sisi dan S titik tengah FH. Jadi AS FH ………(1) CFH sama sisi dan S titik tengah FH. Jadi CS FH ………(2) Jadi sudut tumpuan antara bidang AFH dan CFH = ASC.= . Pada ASC: cos  = ; misalkan AB = 2a, maka AC = 2a2, AS = CS = a6 = = = Jadi cos (AFH, CFH) = 2) T.ABCD adalah sebuah limas segi-4 beraturan(Gb. 2.13): AB = 6 cm, tinggi limas = 6 cm. Tentukan sin (TC, ABCD) dan tan (TBC, ABCD) Jawab: M = proyeksi T pada bidang ABCD dan C = proyeksi C pada bidang ABCD Jadi proyeksi TC pada bidang ABCD adalah  (TC, ABCD) =  TCM; MC = AC =  62 cm = 32 cm. TC = = = = 36 (cm) sin TCM = = = 6 Jadi sin (TC, ABCD) = 6 (TBC, ABCD) = BC Q pada BC, QT pada bidang TBC tegak lurus BC Q pada BC, QP pada bidang ABCD tegak lurus BC Sudut tumpuan antara bidang TBC dan ABCD adalah PQT, tan PQT = = 2 Jadi tan (TBC, ABCD) = 2. 4. Sudut Bidang Tiga Melalui suatu titik T, kita bayangkan tiga ruas garis TA, TB dan TC, yang tidak terletak pada satu bidang. Ketiga garis tersebut membentuk sudut-sudut ATB, ATC dan BTC. Gambar yang dibentuk oleh sudut-sudut itu, dinamakan sudut bidang tiga T.ABC. Garis-garis TA, TB dan TC disebut rusuk; titik T disebut puncak; sudut-sudut ATB, ATC dan BTC (biasa disingkat dengan c, b dan a) disebut sisi, sudut - sudut tumpuan dari sudut-sudut bidang dua yang dapat dilukis pada rusuk-rusuk dinamakan α, β, dan γ dari pada sudut bidang tiga itu. Sisi-sisi dan sudut-sudut bersama-sama disebut unsur-unsur sudut bidang tiga tersebut. Selanjutnya dikatakan bahwa sudut γ dan sisi c adalah berhadapan, demikian juga sudut α dengan sisi a dan sudut β dengan sisi b. Suatu titik P yang tak terletak pada salah satu sisi akan tetapi terletak di dalam setiap sudut-bidang-dua, dikatakan titik P terletak di dalam sudt bidang tiga; sebaliknya jika titik P terletak di luar setiap sudut bidang dua, maka dikatakan bahwa titik P terletak di luar sudut bidang tiga. Sifat-sifat: Sifat 1 : Jika dua buah sisi suatu sudut bidang tiga sama, maka sudut-sudut di hadapanya sama pula. Diketahui : (Gb. 4.1) Suatu sudut bidang tiga T.ABC , b = c Buktikan : β = γ Bukti : Misal A’, B’ dan C’ berturut-turut proyeksi A pada bidang BTC, garis TB dan garis TC, maka AC’A’ = γ, dan AB’A’ = β . Oleh karena Δ ATB’ dan Δ ATC’ mempunyai rusuk persekutuan AT dan dua sudut yang sama ( b = c dan AC’T = AB’T = 900) maka Δ ATB’ Δ ATC’ , jadi AB’ = AC’ . Sehingga kesimpulannya Δ AA’B’ Δ AA’C’ (sisi-sisi-sudut). Jadi terbukti bahwa β = γ. Dengan cara yang sama, dapat kita buktikan: Sifat 2 : Jika dua buah sudut dari sudut-bidang-tiga sama, maka sisi-sisi dihadapannya adalah sama pula. Latihan 3 Untuk no. 1-6, gunakan gambar kubus pada Gambar 12 dengan panjang rusuk 6 cm. 1. Berapakah jarak antara (1) A dan C, (2) D dan G? 2. Berapakah jarak (terpendek) antara E dan C jika ditempuh melewati bidang sisi kubus? 3. Berapakah jarak antara (1) B dan FC (2) D dan EG? 4. Berapakah jarak dan besar sudut antara (1) HG dan bidang ABFE, (2) FG dan BCHE? 5. Berapakah jarak antara bidang ABFE dan bidang DCHG, (2) bidang AFH dan bidang BDG? 6. Berapakah jarak antara (1) AB dan FG, (2) AE dan BD, dan (3) GH dan FC? 7. Berapakah kosinus sudut antara: a. (i) CF dan DG (ii) AH dan QG (iii) DH dan QG b. (i) AH dan EFGH (ii) EG dan BDG (iii) CS dan AFH c. (i) BDG dan ABCD (ii) BEG dan EFGH (iii) AFH dan BDE 8. Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya a2 cm. Tentukanlah jarak titik H ke bidang DEG! 9. Dua buah garis  dan m bersilangan tegak lurus. Jarak antara kedua garis itu adalah dengan A pada  dan B pada m. Pada garis  dan m berturut-turut terletak titik-titik C dan D, sehingga AC = 6 cm dan BD = 8 cm. Jika AB = 10 cm, hitunglah panjang . 10. D.ABC adalah sebuah bidang empat beraturan, panjang rusuknya 6 cm. a. Hitung jarak: antara (i) setiap titik sudut ke bidang sisi di hadapannya (ii) setiap dua rusuknya yang bersilangan b. Hitunglah kosinus sudut antara (i) dua bidang sisinya (ii) sebuah rusuk dengan sisi yang ditembusnya (iii) garis tinggi dan rusuk yang dipotongnya. 11. Berapakah jarak antara (1) AB dan FG, (2) AE dan BD, dan (3) GH dan FC? 12. Gambarlah kubus ABCD.EFGH. K adalah titik potong diagonal AC dan BD. Lukislah sebuah ruas garis yang menyatakan jarak antara garis BG dan EC, kemudian hitung jarak tersebut jika panjang rusuk kubus 6 cm. 13. T.ABCD adalah sebuah limas beraturan. AB = 6 cm, TA = 35 cm. Gambarlah sebuah ruas garis yang menyatakan jarak antara titik B ke bidang TAD dan hitunglah jarak tersebut . 14. ABCD adalah sebuah trapesium siku-siku di A, merupakan alas sebuah limas T.ABCD dengan TA  ABCD. Panjang rusuk AD = 30 cm, AB = 20 cm, dan BC = 15 cm. Hitunglah: jarak antara (i) CD dan TA, (ii) A dan bidang TCD, (iii) B dan bidang TCD, dan sinus sudut antara bidang TCD dan ABCD BAB II IRISAN BIDANG DENGAN BANGUN RUANG A. BEBERAPA PENGERTIAN DAN DASAR IRISAN 1. Irisan Yang dimaksud irisan antara sebuah bidang datar  dengan sebuah bangun ruang ialah bangun datar yang semua sisinya adalah ruas garis persekutuan antara bidang  dan bidang sisi bangun ruang tersebut. Jika bangun ruangnya adalah bidang banyak maka irisannya adalah sebuah segi banyak (poligon: segi-n, n  A dan n  3). Jika biasanya hasil irisannya diarsir, bukan berarti irisan berupa daerah bidang; hal itu hanya untuk memperjelas yang dimaksud irisannya. Selanjutnya pada bab ini irisan yang dibahas adalah antara bidang datar dan bidang banyak. 2. Hubungan Tiga Bidang Untuk menggambar irisan antara sebuah bidang datar dan bangun ruang perlu memahami hubungan antara tiga bidang, khususnya bidang- bidang yang berpotongan. Hubungan antara tiga bidang: , , dan  adalah sebagai berikut: a. Bidang ////  tak ada titik/garis potong (Gb 3. 1) b. Bidang  //   (,) //(, ) (Gb 3. 2) Bidang  dan  berpotongan pada (, ) 1) (, ), (, ) dan (, ) berimpit (Gb 3. 3) 2) Jika (, ) // (, ) maka (, ) juga sejajar keduanya. Jadi (, ) // (, ) // (, )  ketiga garis potong sejajar (Gb 3. 4) 3) Jika (, ) dan (, ) berpotongan di T maka (, ) juga melalui titik T  ketiga garis potong melalui sebuah titik (Gb 3. 5) 3. Hubungan Tiga Bidang Sebagai Dasar Irisan : Dari tiga buah bidang ,  dan  yang tidak ketiga-tiganya sejajar dan ketiga garis potongnya tidak berimpit, maka: a. Jika dua bidangnya sejajar dan dipotong garis bidang ketiga maka kedua garis potongnya sejajar b. Jika tidak ada bidang yang sejajar, maka 1) Jika dua garis potongnya sejajar, maka garis potong ketiga sejajar pula 2) Jika dua garis potongnya melalui sebuah titik T, maka garis potong ketiga melalui titik T pula. B. TEKNIK UMUM MENGGAMBAR IRISAN Ada tiga cara utama menggambar irisan. Ketiga cara tersebut berlandas pada ha-hal yang disampaikan pada Pasal A. Adapun cara-cara tersebut adalah (1) menggunakan pertolongan sumbu afinitas, (2) garis potong antara bidang diagonal (atau yang semacam) dan (3) garis potong perluasan bidang sisi bangun ruangnya. 1. Menggunakan Dasar Hubungan Tiga Bidang Contoh 3.1 Diketahui kubus ABCD.EFGH (Gb 3. 6). Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk CG, DH dan AE. Gambarlah irisan bidang  melalui P, Q, dan R terhadap kubus. Jawab: (, ADHE) = QR dan bidang BCGF // ADHE Karena  melalui P, maka (, BCGF) melalui P // QR. (Gb 3. 7(i)). Misal garis ini memotong BF di S, maka irisannya adalah segi-4 PQRS. (Gb 3. 7(ii)) 2. Menggunakan Teknik Lukisan a. menggunakan sumbu afinitas. Sumbu afinitas adalah garis potong (persekutuan) antara bidang pengiris dengan bidang pemuat alas (bidang alas dan perluasan bidang alas) Dari Gb 7(ii) bidang irisannya diperluas menjadi Gb 8. Sisi-sisi irisan diperpanjang, rusuk-susuk alas dan diagonal DB diperpan-jang. Tampaklah bahwa titik-titik K = (, alas, ADHE) , L = (, alas, BCGF), M = (, alas, BDHF), N = (, alas, ABFE), dan O = (, alas, CDHG). Jadi garis KO = (, alas) dan garis ini dinamakan sumbu afinitas. Sebaliknya, sumbu afinitas digunakan sebagai dasar teknik melukis atau menggambar irisan. Karena garis, dalam hal ini sumbu afinitas, tertentu jika dua titik yang dilaluinya tertentu, maka (1) sumbu afinitas dicari dulu dengan menentukan dua buah titik persekutuan antara bidang pengiris dan alas. Cara utama adalah menentukan titik tembus garis yang terletak pada pengiris terhadap alas bangun ruang; (2) jika sumbu afinitasnya telah diperoleh, maka dengan cara “membalik”, yaitu menentukan titik potong garis pada alas dengan sumbu afinitas sebagai langkah untuk menentukan garis pada pengiris yang memotong rusuk bangun ruang. Perhatikan contoh berikut dari soal yang sama dengan contoh di atas. Contoh 3.2 Gambarlah irisan bidang  melalui P, Q, dan R terhadap kubus pada Gb. 3.6 menggunakan sumbu afinitas. Jawab: (, ADHE) = QR. Perpanjang QR memotong AD di K (keduanya pada bidang ADHE  K pada (, alas) …(*) (, CDHG) = QP. Perpanjang QP memotong CD di O (keduanya pada bidang CDHG)  O pada (, alas) (**) Menurut (*) dan (**) K dan O pada (, alas).Jadi KO = sumbu afinitas. Untuk memperoleh titik potong titik potong pengiris dan rusuk cukup dipilih salah satu dari tiga cara berikut: (i) (alas, BDHF) = DB. Perpanjang DB memotong KO di M (keduanya pada bidang BDHF  M= pada (, alas). Karena (alas, BDHF) dan (, alas) melalui M, maka (BDHF, alas) melalui M dan Q, memotong BF titik S (ii) (alas, ABFE) = CB. Perpanjang AB memotong KO di N (keduanya pada bidang ABFE  N pada (, alas). Karena (alas, ABFE) dan (, alas) melalui N, maka (ABFE, alas) melalui N dan RQ, memotong BF titik S (iii) (alas, BCGF) = CB. Perpanjang CB memotong KO di L (keduanya pada bidang BCGF  L= pada (, alas). Karena (alas, BCGF) dan (, alas) melalui M, maka (BCGF, alas) melalui M dan P, memotong BF titik S Irisannya adalah segiempat PQRS. b. menggunakan bidang-bidang diagonal, atau 1) bidang sejajar atau melalui rusuk tegak untuk kelompok prisma, 2) bidang melalui salah satu rusuk tegak dan sebuah titik pada bidang sisi bukan pemuat rusuk tegak itu 3) jika diketahui bidang pengiris melalui dua titik pada bidang sisi, di antara bidang pertolongannya dapat menggunakan bidang melalui kedua titik tersebut dan (a) sejajar rusuk tegak prisma untuk prisma atau (b) melalui kedua titik dan puncak limas untuk limas. Perhatikan kembali soal yang terkait dengan Gambar 6. Diminta menggambar irisan bidang  melalui P, Q, dan R terhadap kubus. Jawab: Garis PR pada bidang diagonal ACGE (perhatikan Gb 3. 10 (i)) dan bidang  melalui P dan Q, sehingga (ACGE, ) = PR. Gambarlah bidang BDHF. Diperoleh (BDHF, ACGE) = MN. Perhatikan tiga bidang: , ACGE, dan BDHF. (ACGE, BDHF) = MN (ACGE, ) = PR Akibat: (BDHF, ) juga melalui titik O.(Gb 3. 10 (ii)) Karena salah satu titik persekutuan (BDHF, ) adalah titik Q, maka (BDHF, ) adalah garis QO. Garis ini memotong BF di titik S. (Gb 3. 10 (iii)). Jadi irisannya adalah segi-4 PQRS.(Gb 3. 10 (iv)) Menggambar irisan dengan cara ini tidak memerlukan perluasan daerah gambar, tetapi kelemahannya ialah, jika bangun ruangnya beralas segi-n dengan n yang cukup besar, gambarnya lebih rumit. c. menggunakan garis potong antara perluasan bidang-bidang sisi tegak Cara ketiga ini dapat digunakan hanya jika perluasan bidang sisi khususnya sisi tegaknya berpotongan pada daerah bidang gambar, 3. Beberapa masalah menggambar irisan Ada berbagai macam persoalan menggambar irisan, di antaranya: a. Irisan melalui tiga titik yang diketahui, seperti contoh dia atas. b. Irisan melalui satu atau dua titik yang diketahui dengan tambahan syarat, misalnya: • bidang pengiris sejajar bidang lain, • bidang pengiris sejajar garis satu atau dua garis yang diketahui • bidang pengiris tegak lurus bidang tertentu • bidang pengiris tegak lurus bidang tertentu. Untuk butir b ini, selain hal-hal yang dikemukakan pada butir A. 2, maka syarat-syarat tambahan ini perlu diperhitungkan. A. MENGGAMBAR IRISAN BIDANG MELALUI TIGA TITIK YANG DIKETAHUI Contoh 3.4 Pada limas T.ABCDE, titik P, Q, dan R berturut-turut pada rusuk-rusuk TA, TB, dan TC. Lihat Gb 3. 11. Gambarlah irisan bidang  melalui titik P, Q, dan R terhadap limas T ABCDE. Jawab: Cara I: Menggunakan sumbu afinitas. Pada bidang sisi TAB ada titik P dan Q. Perhatikanlah skema berikut: Titik P pada rusuk TA Titik Q pada rusuk TB  PQ & AB berpotongan di K Titik R pada rusuk TC Titik Q pada rusuk TB  RQ & CB berpotongan di K Dengan memperhatikan bahwa PQ pada  dan AB pada alas limas, maka K = (PQ, AB) adalah salah satu titik pada (, alas). Demikian juga karena RQ pada  dan CB pada alas limas, maka L = (RQ, CB). Jadi L juga salah satu titik pada (, alas). Berarti sumbu afinitasnya = (, alas) = garis KL. (lihat Gb 3.11b, dan 11c). Perhatikan arah penarikan garis sehingga diperoleh titik K dan titik L.) Pusatkan perhatian pada bidang alas, , dan TAE Perpanjangan rusuk alas EA memotong sumbu afinitas (KL) di M, maka (TAE, alas) melalui titik M. Karena (, alas) = KL maka (, alas) melalui titik M. Karena dua di antara tiga garis-garis potong bidang alas, , dan TAE yaitu KL = (, alas) dan (TAE, alas) melalui titik M, maka garis potong ketiga yaitu (, TAE) juga melalui titik M. Salah satu titik potong bidang TAE dan bidang  adalah titik P. Maka garis potong (TAE, ) adalah garis MP yang memotong rusuk TE di titik U. Pusatkan perhatian pada bidang alas, , dan TDC (Gb 3. 11. e) Perpanjangan rusuk alas DC memotong sumbu afinitas (KL) di N, maka (TDC, alas) melalui titik N. Karena (, alas) = KL maka (, alas) melalui titik N. Karena dua di antara tiga garis-garis potong bidang alas, , dan TDC yaitu KL = (, alas) dan (TDC, alas) melalui titik N, maka garis potong ketiga yaitu (,TDC) juga melalui titik N. Karena salah satu titik potong bidang TDC dan bidang  adalah titik R, maka garis potong (TDC, ) adalah garis NR yang memotong rusuk TD di titik S. Irisannya adalah segi lima PQRSU, seperti terlihat pada Gb 3. 11. e. Cara II: Menggunakan pertolongan bidang diagonal. Gb 3. 12a: Bidang TBD dan TAC berpotongan pada garis TK; atau TK = (TBD, TAC). Gb 3. 12b: Garis PR terletak pada bidang  (karena bidang  melalui P, Q, dan R) Titik P pada TA dan R pada TC sehingga garis PR terletak pada bidang TAC Dari kedua pernyataan menunjukkan bahwa PR = (, TAC). Garis ini pada bidang TAC, sehingga berpotongan dengan TK yang juga pada bidang tersebut. Namakan titik potonganya adalah titik L. Gb 3. 12c: Dengan memperhatikan tiga bidang: , TAC, dan TBD dari keterangan pada Gb 3. 12b tampak bahwa: (, TAC) dan (TAC, TBD) melalui titik L. Karena itu maka garis potong ketiga yaitu (, TBD) melalui titik L. Salah satu titik lain yang dilalui garis ini adalah titik Q, karena Q pada bidang  dan juga pada bidang TBD. Karena itu ), TBD) = QL yang memotong rusuk tegak TD di S. Gb 3. 12d: Perhatikan bidang , TAC dan TBE: TM = (TAC, TBE) dan PR = (, TAC) Kedua garis berpotongan di titik N. Jadi garis potong ketiga yaitu (, TBE) juga melalui titik N. Karena Q adalah salah satu titik pada bidang  (karena  melalui Q) dan pada bidang TBE (karena pada TB dan TB pada TBE), maka (, TBE) = garis QN. Garis ini memotong TE di U. Gb 3. 12.e. : Irisannya adalah segi lima PQRSU. Cara III: Menggunakan garis potong perluasan bidang sisi tegak. Gambar bidang sisi tegak TAB, TBC, dan TED diperluas dengan bidang pemuatnya dengan pertama kali memperpanjang ke segala arah rusuk alas BA, BC dan DE (Gb 3. 13. a). Perhatikan bidang , TAB dan TED. BA dan DE berpotongan pada titik K TK dan PQ berpotongan di titik M maka garis potong ketiga, yaitu (, TDE) melalui M …….. *) Perhatikan bidang , TBC dan TED. BC dan DE berpotongan pada titik L TL dan QR berpotongan di titik N maka garis potong ketiga, yaitu (, TDE) melalui N ………….. *)) Dari *) dan *)) (, TDE) = garis MN. Garis pada bidang  ini memotong TD di S dan TE di U. Irisannya adalah segi lima PQRSU (Gb 3. 13. b) Cara menggambar irisan dengan cara III ini dapat dilakukan jika diperoleh adanya perpotongan perluasan bidang sisi tegak. Jika bangun ruangnya adalah prisma, maka garis potong perluasan bidang-bidang sisi tegaknya sejajar dengan rusuk tegak prisma. B. MENGGAMBAR IRISAN BIDANG MELALUI TITIK TERTENTU DENGAN SYARAT KESEJAJARAN ATAU SYARAT LAINNYA Contoh 3.5 Titik P adalah titik tengah rusuk TB pada limas beraturan T.ABCD. Lukislah irisan bidang  melalui P sejajar BD dan TA Jawab: Misalkan bidang pengirisnya adalah bidang . (, TAB) // TA Untuk membuat (, TAB) dibuat PQ pada bidang TAB //TA (Q pada AB) Gb 3.14a. Garis tersebut memotong AD di R dan AC di N. (Gb 3. 14. b) Berdasar sifat kesejajarannya terhadap TA, maka:(i) pada TAD dibuat garis melalui R sejajar TA memotong TD di S, (ii) pada TAC dibuat garis melalui N sejajar TA memotong TC di M. Irisan adalah segi lima PQRSM (Gb 3. 14. c) Dengan demikian maka prosedur menggambarnya sebagai berikut: 1) Pada bidang TAB ditarik garis PQ // TA ( Q pada AB) 2) Pada bidang ABCD ditarik QR // BD (R pada AD) memotong AC di N. 3) Pada bidang TAD ditarik garis RS // TA (S pada TD) 4) Pada bidang TAC ditarik garis melalui N // TA memotong TC di M. 5) Irisan adalah segilima PQRSM. Catatan: Garis QR adalah sumbu afinitas, sehingga sesudah langkah kedua di atas dapat dilakukan langkah penggunan sumbu afinitas yaitu: 1) Perpanjang rusuk CB memo-tong sumbu afinitas di titik titik K. Tarik KP memotong TC di M. 2) Perpanjang CD memotong sumbu afinitas di titik L. 3) Tarik ML, memotong TD di S. Irisannya adalah segi lima PQRSM. Contoh 3.6 T.ABCD adalah sebuah limas beraturan. Lukislah irisan bidang  melalui BC tegak lurus bidang TAD. Analisis: Bidang yang tegak lurus TAD adalah bidang yang melalui sebuah garis yang tegak lurus pada bidang TAD. Karena bidang  harus melalui BC sedangkan C adalah garis yang sejajar bidang TAD, maka garis yang tegak lurus bidang TAD tersebut juga tegak lurus BC. Pada gambar limas tersebut, TO garis tingi, M dan N adalah titik tengah rusuk AD dan BC dengan bidang TMN frontal dan MN frontal mendatar. Jika dari titik N dibuat garis yang tegak lurus TM yaitu garis NP (dalam gambar sungguh tegak lurus karena TMN frontal), maka garis tersebut adalah garis yang tegak lurus bidang TAD, dengan alasan sebagai berikut: Dengan demikian bidang  adalah bidang yang melalui dua garis berpotongan yaitu: BC (sesuai ketentuan) dan NP (syarat tegak lurus bidang TAD). Perhatikan tiga bidang: bidang alas, bidang  dan bidang TAD. Karena P adalah salah satu titik persekutuan antara bidang  dan TAD, maka (, TAD) melalui titik P sejajar AD. Menggambar irisannya (Gb 3. 15): 1) Limas T.ABCD digambar dalam keadaan TMN frontal, dengan M = titik tengah AD dan N titik tengah BC. 2) Dibuat garis NP  TM, P pada TM (posisi frontal ) 3) Dibuat garis melalui P sejajar AD memotong TA di Q dan TD di R. 4) Irisan adalah segi empat BCRQ. C. MENGGAMBAR IRISAN BIDANG MENGGUNAKAN SIFAT KESEJAJARAN PADA PRISMA Contoh 3.7 Titik P, Q, dan R berturut-turut titik-titik tengah rusuk HG, CG, dan AB pada kubus ABCD.EFGH (Gb 3. 16. a). Lukislah irisan bidang yang melalui P, Q, dan R terhadap kubus. Jawab: Perhatikan urutan penyelesaian berikut: Keterangan gambar: Gb 3. 16. a Sesuai ketentuan Gb 3. 16. b Bidang  (pengiris) memotong dua bidang ABCD dan EFGH yang sejajar. Akibat: (, alas) melalui titik R sejajar PQ, memotong perpanjangan DC di K Gb 3. 16. c KQ = (, CDHG) yang memotong CG di titik U.. Gb 3. 16. d Bidang  memotong bidang BCGF pada ruas garis SU. Gb 3. 16. e Bidang  memotong bidang ABFE dan DCGH yang sejajar. Jadi garis potongnya sejajar, yaitu (, AGFE) // (, DCGH). Karena itu untuk memperoleh (, ABFE) pada ABFE ditarik garis RT sejajar (, DCGH) = KQ, yang memotong AD di T. Gb 3. 16. f Dengan menghubungkan T dengan P diperoleh irisan bidang  dengan kubus, yaitu segienam PQUSRT. D. MENGGAMBAR IRISAN BIDANG MELALUI TITIK YANG TIDAK TERLETAK PADA RUSUK BANGUN RUANG Jika titiknya tidak pada rusuk tegak tetapi pada bidang sisi tegak, maka untuk menggambar dengan pertolongan sumbu afinitas maupun yang dalam menggambar irisan diperlakukan seperti bidang diagonal, melalui titik tersebut dibuat (1) garis sejajar rusuk tegak untuk prisma, atau (2) garis melalui puncak limas untuk limas. Contoh (pada prisma): Q pada bidang sisi CDIH. Sumbu afinitas = KL dengan K = titik potong persekutuan bidang , alas dan bidang QPE, L = titik persekutuan bidang , alas dan bidang QBR. Contoh (pada limas) Pada limas T.ABCDE titik Q pada bidang TCD, P pada bidang TAE dan R pada rusuk TB. Bidang pengiris melalui P, Q, dan R. Untuk menggambar sumbu afinitas dibuat lebih dulu garis TF melalui T dan Q pada bidang TCD ( F pada CD) dan TG melalui T dan P pada bidang TAE. Sumbu afinitas KL pada Gb 3. 17. a diperoleh dengan: (1) menentukan K = titik potong (, alas), (, TFB) dan (TFB, alas) (2) menentukan L = titik potong (, alas), (, TFG) dan (TFG, alas) Lukisan selanjutnya dilakukan dengan bantuan sumbu afinitas tersebut (Gb 3. 17. b) Garis-garis pertolongan melalui puncak limas tersebut juga dapat digunakan untuk menggambar irisan menggunakan pertolongan bidang yang dalam proses menggambar irisan diperlakukan seperti bidang diagonal. Lihat Fb. 17 c. dan Gb 3. 17. d. LATIHAN 4 Lukislah irisan bidang  terhadap bangun ruang berikut, dan tuliskan langkah-langkahnya. 1. Salinlah gambar berikut dan lukislah irisan bidang PQR terhadap bangun ruang berikut. 7 2. Bidang  melalui P, Q, dan R, P pada bidang ABFE, 3. Bidang  melalui P, Q, dan R Q pada bidang BCGF, dan R pada rusuk GH 4. Bidang  melalui P, Q, dan R 5. Bidang  melalui P, Q, dan R 6. Bidang  melalui P, Q, dan R 7. Bidang  melalui P, Q, dan R, Q pada bidang CDNM 8. T.ABCDE limas segi lima. Titik P pada TA, AP = 2 PT. Lukis irisan bidang  melalui titik P sejajar BE dan TD terhadap limas. 9. ABCD.EFGH adalah kubus dengan panjang rusuk a cm. Titik P adalah titik tengah rusuk HE. Bidang  melalui P dan AC. Titik tembus GH terhadap bidang  adalah titik Q. a. Gambarlah kubus tersebut beserta irisannya (sebutkan nama bangun irisannya). b. Perpanjangan rusuk DH memotong bidang  di titik T. Berapa volum limas TACD? c. Hitunglah perbandingan volum limas TPQH dan TACD. Berapa volum bagian limas ini yang berada di dalam kubus? d. Hitung perbandingan volum bagian-bagian kubus karena perpo-tongannya oleh bidang . 10. TABCD adalah limas beraturan dengan panjang rusuk alas 2a cm dan tinggi = TM = a2 cm. Titik O pada TM, TO = 2  OM. Sebuah bidang  melalui BO sejajar AD. Gambarlah irisan bidang  terhadap limas, kemudian hitung perbandingan volum bagian-bagian limas yang terjadi.